Gerçel Sayıların Tanımı
Matematikte “reel sayılar” olarak da bilinen gerçel sayılar, hem rasyonel hem de irrasyonel sayıların birleşiminden oluşan, sayı doğrusu üzerindeki tüm noktaları temsil eden bir sayı kümesidir. Bu geniş sayı kümesi, matematikteki birçok işlemin ve kavramın temelini oluşturur. Gerçel sayılar kümesi, genellikle büyük ‘R’ harfi (ℝ) ile gösterilir.
Gerçel Sayıları Oluşturan Kümeler
Gerçel sayılar, iki ana kümenin birleşimiyle meydana gelir:
-
Rasyonel Sayılar (Q)
Rasyonel sayılar, iki tam sayının birbirine oranı (a/b şeklinde, b ≠ 0 olmak üzere) olarak ifade edilebilen sayılardır. Bu küme şunları içerir:
- Doğal sayılar (0, 1, 2, 3, ...)
- Tam sayılar (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)
- Kesirler (1/2, 3/4, 5/6, ...)
- Sonlu ondalık sayılar (0.5, 2.75)
- Devirli ondalık sayılar (0.333..., 1.252525...)
Tüm doğal sayılar ve tam sayılar, paydalarına 1 yazılarak rasyonel sayı olarak ifade edilebilir.
-
İrrasyonel Sayılar (I)
İrrasyonel sayılar, iki tam sayının oranı olarak yazılamayan sayılardır. Bu sayılar, virgülden sonra düzensiz ve sonsuz bir şekilde devam eden ondalık açılımlara sahiptir. İrrasyonel sayılara örnek olarak şunlar verilebilir:
- Karekökten tam olarak çıkamayan köklü sayılar (√2, √3, √5)
- Pi (π) sayısı
- Euler sabiti (e)
Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümeleri ayrık kümelerdir, yani ortak elemanları yoktur.
Sayı Doğrusu ve Gerçel Sayılar
Gerçel sayılar, sayı doğrusu üzerindeki her noktaya karşılık gelir ve sayı doğrusunu tamamen doldurur. Bu, sayı doğrusu üzerinde boşluk kalmadığı anlamına gelir. Gerçel sayılar kümesinin bir başlangıç veya bitiş noktası yoktur; eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar uzanır.
Gerçel Sayıların Özellikleri
Gerçel sayılar, toplama ve çarpma işlemleri altında bazı önemli özelliklere sahiptir:
- Kapalılık Özelliği: İki gerçel sayının toplamı veya çarpımı yine bir gerçel sayıdır.
- Değişme Özelliği: Toplama ve çarpma işlemlerinde sayıların sırası değiştirilebilir (a+b = b+a, a*b = b*a).
- Birleşme Özelliği: Toplama ve çarpma işlemlerinde sayıların gruplandırılması sonucu değiştirmez ((a+b)+c = a+(b+c), (a*b)*c = a*(b*c)).
- Dağılma Özelliği: Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır (a*(b+c) = a*b + a*c).
- Etkisiz Eleman: Toplamada 0, çarpmada 1 etkisiz elemandır.
- Ters Eleman: Her gerçel sayının toplamaya göre tersi (-a) ve sıfır dışındaki her gerçel sayının çarpmaya göre tersi (1/a) vardır.
Gerçel sayılar, pozitif, negatif ve sıfır gibi tüm değerleri içerir. Karmaşık sayılar (sanal sayılar) ise gerçel sayılar kümesinin dışında kalır.